来源：互联网转载 | 更新日期：2023-09-07 07:35:51

目录

一、简介

1.泰勒公式及其证明过程

2.两种类型的余项

3.麦克劳林公式

二、泰勒公式常见题型

1.用泰勒公式展开函数

2.用泰勒公式求极限

3.用泰勒公式讨论无穷小的比较

4.用泰勒公式证明等式和不等式

一、简介

1.泰勒公式及其证明过程

• 泰勒中值定理1：若f(x)在含有的某个邻域内具有n阶倒数，则对于该邻域内任一点x,(x趋近于)则有：

        其中为余项,根据需要选择使用佩亚诺型还是拉格朗日型，具体见后文（两种类型的余项）

• 证明：

一次表达式

令

当;

   ,     ……      先求导再代入

则   ,       ……      即证。

2.两种类型的余项

1.佩亚诺型余项取前一项的自变量

若你所写的泰勒公式只有三项，则,取四项则，其他同理

2.拉格朗日型余项

泰勒中值定理2： 若f(x)在含有的某个邻域内具有n+1阶导数，则对于该邻域内任一点x,(x趋近于),则有,此式子即为拉格朗日型余项

 时      即  为拉格朗日中值定理

3.麦克劳林公式

当泰勒公式中    时即为麦克劳林公式：  

注意：麦克劳林公式的使用条件：因为x趋近于，而此时，所以x也趋近于零

二、泰勒公式常见题型(的选取很关键)

1.用泰勒公式展开函数

• 方法：对原函数多求几次导，找到规律，写出有规律的式子
• 例子：求函数f(x)=lnx按(x-2)展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式

解：令  ,   对f(x)多次求导，又对不断求导找出规律

              ……

 ,将x=2带入式子，然后写出泰勒展开式

2.用泰勒公式求极限

• 方法：1.先观察式子中有无可替换的等价无穷小     

           2.再观察分子分母中哪些式子需要用泰勒展开

           3.展开时泰勒公式中与原式中本身次方最大的的关系为n<=m

           4.注意可以转换的式子如,再对用泰勒公式展开

           5.展开时注意是否可以自变量整体代换如  ，我们知道常用的的泰勒展开式，可以直接用1/x替换x，前提是用来替换的式子必须趋近于零

• 例题1：求极限  (提示:对cosx泰勒展开，对，由常见泰勒展开，用                                                       整体代换展开式中的x，两项展开式中x最大次方应该                                                       <=4，最后答案为)
• 例题2：求极限   (提示：使用等价无穷小的替换，再对用泰勒展开，最后答               案为2）
• 例题3：求极限 

       解：由泰勒公式对转换后                    的式子提出一个e，得到，此时对用麦克劳林展                        开，将   整体看做x代入的麦克劳林公式，后续步骤比较简                        单，这里不给出解答了，最后答案等于

（为什么上一步展开到时不能用整体代入而要先提一个e出来呢？，因为x趋近于无穷，原来的次方   是趋近于1的，而不符合麦克劳林的展开条件x趋近于0，当提出e时，后式就可以直接整体代入，用麦克劳林公式展开）

3.用泰勒公式讨论无穷小的比较

• 方法：统一单位，赋值
• 例题：设时，是比高阶的无穷小，求a和b的值（提示：由题,对泰勒展开至式子中出现，再对分母合并同类项，整体等于0，即可求出a、b）

4.用泰勒公式证明等式和不等式（重难点）

• 方法：注意的选取

            1.若只需要证明的结果中不含一阶导数时，可考虑选取题目已知的一阶导数的点或隐含为一阶导数已知的点

             2.积分不等式还可考虑选取,因为积分后可把含消去

• 例题1：试证明：若f(x)在[a,b]上存在二阶导数，且,则存在使(想办法用给出的条件构造该函数，选取题目已知的一阶导数的点a，b为分别为)

  证明：将分别在点a，点b泰勒展开得

                

                

令,则以上两式相减得

,即证

• 例题2：设f(x)在[0,1]上二阶可倒，f(0)=f(1)=0,f(x)在[0,1]上的最小值等于-1，试证明至少存在一点使

证明：由题设存在,使f(a)=-1,,对f(x)在a点泰勒展开（即取=a），有

将x=0，x=1代入上式有

                     

           

若0<a<1/2,由上式得,  若1/2<=a<1,由下式得，故结论成立

ps：1.想要熟练地掌握泰勒公式并对其加以使用需要琢磨清楚泰勒公式，自己找更多的题练习

        2.上述例题摘自《吉米多维奇高等数学练习题》

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